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一次不等式の解き方を例題を通して徹底解説!!!

投稿日:2017年1月24日 更新日:

はじめに確認しておくと、一次不等式とはたとえば $x+1>2$ のような式のことです。式中に不等号($>,<,≧,≦$)が入っている式のこと。そして $x$ の次数が一次であること( $x^2$ や $x^3$ ではなく、$x$ 単体であるということです)。これが一次不等式です。

そして一次不等式であっても、通常の一次方程式(たとえば $x+2=3$ みたいな式)と同じノリで解いていけば大丈夫です。一次方程式であれば、与えられた式を変形して $"x="$ の形にまで持っていったら解いたことになりますよね。それと同じように、一次不等式は $x<$ や $x>$ の形に持っていけばいいのです。

ただし一つだけ気を付けておくべきポイントがあります。それは「マイナスをかけると符号が逆になる」ということです。これさえ気を付けていれば一次不等式は簡単に解けます。では早速例題を解いていきます。

 

次の一次不等式を解け。
$-x+2<3$

解説

まずは両辺から $2$ を引きます。

$-x<1$

$x$ にマイナスがかかっているのでこれを消すために両辺にマイナスをかけます。ここで不等号を逆にしてください。

$x>-1$

これで完成。

こんな感じで、一次不等式にマイナスをかける時は絶対に不等号の向きを逆にしてください。

では次の問題にいきましょう。

 

次の一次不等式を解け。
$-2x+1>5$

解説

まずは両辺から $1$ を引きます。

$-2x>4$

$x$ に$-2$ がついているので、それを消すために両辺を$-2$で割ります。

$x<-2$

これで完成。マイナスをかける時に不等号の向きを逆にしたのと同じく、マイナスで割るときも逆にしてください。$-2$で割るということは$-\displaystyle\frac{1}{2}$をかけることに等しいので、割るときもマイナスにすべきです。

では次は普通の問題を。

 

次の一次不等式を解け。
$3x-2≦x$

解説

左辺の $-2$ を右辺に移動させます。

$3x≦x+2$

そして $x$ の項を左辺にまとめます。

$2x≦2$

あとは $2$ で割るだけ。

$x≦1$

これで完成。こうやってプラスの数をかけたり割ったりする時は不等号の向きは変えないでいいです。

では次は少し面倒な一次不等式を解いてみましょう。

 

次の一次不等式を解け。
$x+\displaystyle\frac{1}{3}(x+1)≦2x-\displaystyle\frac{1}{2}$

解説

両辺の分数、$\displaystyle\frac{1}{3}$と$\displaystyle\frac{1}{2}$ が鬱陶しいのでまずはこれを取ります。

$2$ と $3$ の最小公倍数は $6$ なので両辺に $6$ をかけたら取れます。

$6x+2(x+1)≦12x-3$

次にカッコを取ります。

$6x+2x+2≦12x-3$

あとはこれをまとめていくだけ。

$8x+2≦12x-3$

$⇔-4x≦-5$

$⇔x≧\displaystyle\frac{5}{4}$

これで完成。

補足ですが、一次不等式の答えを書く時は一応、一次方程式の答えを書く時と同じように、最終的に左辺に $x$ を持ってくるのが良いと思います。最後の問題の場合であれば $\displaystyle\frac{5}{4}≦x$ とするのではなく、$x≧\displaystyle\frac{5}{4}$ と書く。こんな感じです。

どっちの書き方でも数学的に意味は同じなのですが、人間は左から右に文章を読むので、やはり $x$ は左辺に持ってくるのが望ましいと思います。自分が理解しやすくするためにも。

では最後に、一次不等式を応用した文章題を解いてみましょう。

 

$10000$ 円の部費を持って買い出しに向かったサッカー部員達。まずは監督から頼まれていた $1500$ 円のホイッスルを買った後、残りの金で一缶 $2000$ 円のプロテインを買えるだけ買ったが、その帰り道の下り坂、疲れからか不幸にも黒塗りの高級車に追突してしまう。後輩をかばいすべての責任を負った三浦に対し、車の主、暴力団員谷岡に言い渡された示談の条件とは……
このときサッカー部員たちが持っていたプロテイン缶の個数を答えよ。

解答

文章題なので、まずは求めたい数を $x$ と置きます。今回はプロテイン缶の数を求めたいので、プロテイン缶の数を $x$ としましょう。

そうすると、プロテイン缶の代金が $2000x$ 円、ホイッスルの代金が $1500$ 円。この合計金額が、はじめの手持ちの $10000$ 円以内であればよいことがわかります。式で表すと

$2000x+1500≦10000$

となります。あとはこれを解いていくだけ。

$2000x≦8500$

$⇔x≦\displaystyle\frac{8500}{2000}$

$⇔x≦\displaystyle\frac{85}{20}$

$⇔x≦4.25$

プロテイン缶の個数は整数なので、この不等式を満たす $x$ は $4$ であることがわかります。

よって答えは $4$ 個

 

さて、ここまで計5つの一次不等式を解いてきました。これらのパターンをこなせば一通りの一次不等式の問題が解けるようになるでしょう。

一次不等式を解くにあたってはとにかく「マイナスをかける時に不等号の向きを逆にする」ということだけは忘れずに計算してください。

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